莫比烏斯與他的螺旋空間

五月 18, 2015
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用神奇的莫比烏斯帶製作防濺咖啡杯座。

1905年,保羅莫比烏斯(Paul Mobius)醫生公佈了一張照片,裡面是他過世已久的祖父,偉大的德國數學家奧古斯特費迪南德莫比烏斯(August Ferdinand Möbius)的頭顱,和作曲家貝多芬的頭顱。我們不清楚保羅怎麼取得他祖父的頭顱,更別說是貝多芬的了。而這張黑白照片其實是為了研究古怪科學而攝。保羅莫比烏斯是頗有成就的神經學家,同時也涉略顱相學這門偽科學,他們認為頭顱的形狀和數學及音樂天分有關。

雖然保羅的頭顱研究沒有結果,但他說對了一件事,奧古斯特莫比烏斯這位萊比錫大學的天文學教授與天文臺館長,擁有無庸置疑的數學能力。奧古斯特莫比烏斯做出了很大的科學貢獻:他發明了一種新的微積分;提升天體力學和天文學的研究領域,同時也為幾何學研究提供了重要的見解。

他最著名的研究則是拓撲學,這是一門探討形狀和形變的數學研究。理解莫比烏斯的研究需要對幾何力學、多面體邊界理論、射影變換以及其他重要的數學概念有所了解。

不過,莫比烏斯有一個概念大家都能理解,那就是神奇的莫比烏斯帶。在1858年,莫比烏斯拿了一片輕薄且扁平的材料,把它轉180度,再把兩端接起來,這就是所謂的莫比烏斯帶了(更精確的說法,數學家約翰‧李斯丁(Johann Benedict Listing)在同一年更早的時候也發現了莫比烏斯帶)。
從拓撲學的角度來看,莫比烏斯帶是一個僅有一個邊的三度空間平面,有著驚人的物理性質。舉例來說,從中間接縫處畫一條線,當線繞回接縫處時,卻是在「另外一邊」。如果把莫比烏斯帶從中線切開,不會得到兩條獨立的長帶,而會得到有兩條旋轉過的長帶。如果把莫比烏斯帶和物體連接,例如保齡球瓶,並在頭上繞圈,扭轉的帶會抗拒捲曲,因此比無扭轉的環狀連接效果更好。

我們這就來利用莫比烏斯帶的特性製作一個近乎防濺的杯座吧。

運作原理
要了解莫比烏斯帶咖啡杯座的原理,我們必須先知道為什麼液體會溢出。咖啡噴濺的物理原理很複雜,不僅是多重的加速度、扭力和各種力量的作用,人體動作時的生物力學也扮演著重要的角色。

科學家發現杯中咖啡的波浪狀運動和杯子大小所生成的自然頻率有關(請參考journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.85.046117)。一般咖啡杯產生的震盪頻率和人走路時的動作極為接近。當你手拿咖啡杯,以穩定步伐走路時,並不會溢出,但如果節奏稍微變得不規律,就會產生複雜的液體加速度運動,加大震盪頻率,導致咖啡溢出,然後弄髒地毯。

但是,有抗捲曲把手的莫比烏斯帶咖啡杯座,它的數學原理就變簡單了。因為把手容易彎曲,所有施於咖啡的力都會作用在把手上,只要拉扯到把手,就不會產生側向加速度,而施於咖啡的力只會產生下壓的力到咖啡杯座。

材料

  • 壓克力板,1/8″厚,12″×12″
  • 強力路亞環,直徑1″2
  • 轉環,大:釣具店有賣。
  • 皮革, 3½”×3½”
  • 軟皮革,1/2″×8″
  • 壓克力膠溶劑
  • 膠水


工具

  • 電鋸:使用可切割壓克力的刀片或細齒的硬質合金刀片。
  • 熱風槍:去漆時使用。
  • 電鑽及1/8″鑽頭
  • 老虎鉗
  • 虎鉗,中型(2
  • 砂紙
  • 鉚釘槍及鉚釘,或粗針及線
  • 尺和鉛筆


1.製作杯座

  • 用電鋸(或桌鋸,如果有的話)裁出3½”×12″的壓克力條,然後參考上圖,在壓克力條上畫出彎折線。
  • 用老虎鉗固定壓克力條,並用熱風槍朝其中一條折線吹。等塑膠軟化後,把它折90度,剩下的彎折線也比照辦理,完成像上圖那樣的開口。
  • 注意:熱風槍和塑膠會變得非常燙,戴手套並小心操作,以免燙傷。

2.製作杯座(續)

  • 以彎曲的壓克力做為基準,描出2塊約6″×1½”的側板。盡可能符合12″的主體,然後把描好的部分切下來。
  • 把兩塊側板和主體固定好,用壓克力膠進行溶劑焊接。

3.製作杯座(續)

  • 在杯座頂端鑽出1/8″的孔(如圖)
  • 在杯座底部內側黏上3½”的方形皮革墊。

4.製作莫比烏斯把手

  • 8″的軟皮革條穿過一個強力路亞環,並將皮革轉半圈後的頭尾相接,讓一端的表面與另一端的底部相連,兩端重疊約3/4″,再用堅固的針線(用頂針把針推過皮革)或用幾個鉚釘將其固定住。
  • 把有莫比烏斯帶的強力路亞環穿入轉環的一端。
  • 緩緩拉開另一個強力路亞環,並穿入轉環的另一端。再把強力路亞環穿入杯座上方的1/8″孔洞中。這樣,莫比烏斯帶咖啡杯座就完成了。

5.實際使用

把裝水的紙杯或塑膠杯放在皮革墊上,把一或兩根手指穿入皮革把手中,接著開始用中等幅度以下的圓周來搖晃杯座。當你改變圓周或改變方向時,水還是留在杯子裡。當然如果甩動或拉扯把手,水還是會溢出來,但大部分的狀況,水都還是很神奇地留在杯子裡。


William Gurstelle
威廉・葛斯泰勒是《MAKE》雜誌的特約編輯,著有《Defending Your Castle》、《Build Catapults》、《Crossbows》與《Moats and More》。 

(譯:屠建明)
原文

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