技術指南:示波器運作原理

一月 25, 2018
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Brian S. Elliott at English Wikipedia - Transferred from en.wikipedia to Commons.   CC BY-SA 3.0

示波器被廣泛用於資料擷取,其運作原理在工程學中也有重要意義。本文將詳細介紹如何通過示波器進行類比訊號擷取,以及頻寬、振幅錯誤、上升時間、取樣率、奈奎斯特取樣定理、失真與解析度等概念。

什麼是示波器(digitizer)及其基本原理?

科學家與工程師經常在實務應用中使用示波器進行類比訊號擷取,並將其轉換為數位訊號以供分析之用。任何可將類比訊號轉換為數位訊號的裝置,都可稱為示波器。行動電話就是最常見的一種示波器,它可將擷取到的語音(類比訊號)轉換為數位訊號以便傳輸到另一支電話。不過在測試與量測應用中,示波器(digitizer)主要指的是「oscilloscope」(也譯為示波器)或多功能數位電錶(DMM)。本文主要探討的是示波器(oscilloscope),但其中大部分主題也可適用於其他種類的示波器(digitizer)。
無論類型為何,任何一套系統都需要藉助示波器,才能準確地重建波形。若想要針對不同應用需要選擇適合的示波器(oscilloscope),應先了解示波器的運作原理和在購買時考慮該示波器的頻寬、取樣率與解析度。
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頻寬

什麼是頻寬?頻寬(Bandwidth)說明了類比前端在最小振幅喪失前提下,將外界訊號傳導至ADC的能力,也就是從探針尖端或測試治具傳導到ADC輸入。總的來說,示波器前端包含兩大元件:類比輸入路徑與類比轉數位轉換器(ADC)。在ADC進行數位化之前,類比輸入路徑必須先進行訊號衰減、放大、濾波以及/或是偶合等處理。然後,ADC會將處理過的波形取樣,並將類比輸入訊號轉換為可代表類比輸入波形的數位值。輸入路徑的頻率響應會導致固有的振幅與相位資訊喪失。
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圖1:頻寬說明了輸入訊號通過示波器前端的兩個頻率範圍部分:類比輸入路徑與ADC。
可以說,頻寬(Bandwidth)主要用以形容一個特定範圍,在這個範圍內,輸入訊號可以用振幅損失最少的方式,穿過類比前端到達ADC的輸入端。其說明了示波器可準確量測的頻率範圍。
 
頻寬的定義為正弦輸入訊號衰減為原始振幅之70.7%(也可稱為-3dB點)時的頻率,以赫茲(Hz)為單位。圖2與3顯示100MHz示波器的典型輸入響應。
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圖2:輸入訊號衰減為原始振幅70.7%時的頻寬。
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圖3:本圖表指出在100MHz時,輸入訊號會觸及-3dB點。
頻寬的量測範圍,介於訊號振幅降至低於通帶頻率-3dB的頻率點下上限之間。此種方式看似複雜,但只要拆開來看,實際上相對簡單。
 
首先計算您的-3dB值。
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等式1.計算-3dB點
Vin,pp為輸入訊號的峰值對峰值電壓,而Vout,pp則是輸出訊號的峰值對峰值電壓。例如,當您輸入1V正弦波,輸出電壓可計算為:
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因此:
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由於輸入訊號為正弦波,當輸出訊號觸及此電壓時就會出現兩個頻率;我們稱之為f1以及f2角頻率。這兩種頻率有多種名稱,像是角頻率、截止頻率、交越頻率、半功率頻率、3dB頻率與拐點頻率。這些詞彙指的都是相同的數值,而頻寬也是由這兩個數值計算而得。訊號的中央頻率f0是f1與f2的幾何中數。
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等式2.計算中央頻率
減去兩個角頻率就可計算出頻率(BW)。
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等式3.計算頻寬
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圖4:頻寬、角頻率、中央頻率與3dB點彼此皆有關聯。
計算振幅錯誤
下列是計算頻寬時一種時常派上用場的等式,用於計算振幅錯誤。
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等式4.計算振幅錯誤
振幅錯誤會以百分比來表示,而R則是示波器頻寬與輸入訊號頻率(fin)的比例。
 
透過以上範例,顯示100MHz示波器具有100MHz正弦波輸入訊號(1V與BW=100MHz,以及
fin=100MHz),這表示R=1。這時您只需計算等式:
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振幅錯誤為29.3%。接著,您可以得出1V訊號的輸出電壓:
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建議您選擇頻寬高出受量測訊號中相關最高頻率分量的3至5倍的示波器,以擷取振幅錯誤最小的訊號。舉例來說,當1V正弦波為100MHz,則請使用頻寬介於300MHz至500MHz的示波器。100MHz訊號在這些頻寬的振幅錯誤如下:
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計算上升時間(RiseTime
輸入訊號的上升時間,指的是訊號最大振幅從10%轉至90%所需的時間。示波器除了要有合適的頻寬以外,還需同時擁有足夠的上升時間,以準確擷取快速轉變過程中的細節,才能準確量測訊號。在量測脈衝與步進之類的數位訊號時,最需留意這點。某些示波器可能會將此時間訂為20%至80%,請務必參閱您的使用者手冊。
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圖5:輸入訊號的上升時間,指的是訊號最大振幅從10%轉至90%所需的時間。
上升時間(Tr)計算方式如下:
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等式5.計算上升時間
常數k取決於示波器設定。大多數頻寬小於1GHz的示波器,其常數值k通常為0.35,而頻寬大於1GHz的示波器,其常數值K一般則為介於0.4與0.45。由公式可得:K值越大,示波器的上升時間越長。
 
理想的量測上升時間Trm可藉由計算示波器上升時間Tr0與輸入訊號的實際上升時間來求得Trs
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等式6.計算理想的量測上升時間
建議您將示波器上升時間調整為受量測訊號上升時間的1/3至1/5,以擷取上升時間誤差最小的訊號。

取樣率

取樣率是了解示波器原理的另一個重要概念。取樣率與頻寬規格並沒有直接關聯。取樣率是ADC將類比輸入波形轉換為數位資料時的頻率。當類比輸入路徑完成訊號衰減、增益與/或濾波等作業後,示波器會開始對訊號進行取樣,並將最後顯示的波形轉換為數位形式。整個過程就像是電影中的影格一樣,以快照方式進行。示波器取樣率越高,波形的解析度會越高,而細節也會越清楚。

奈奎斯特取樣定理(NyquistTheorem

奈奎斯特取樣定理說明了受量測訊號的取樣率與頻率之間的關係。根據此定理,取樣率fs必須比受量測訊號中相關最高頻率分量高出兩倍。此頻率通常稱為奈奎斯特頻率fN
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等式7.取樣率必須比奈奎斯特頻率高出兩倍。
為了解其原理,我們將以不同取樣率量測的正弦波為例說明。在案例A中,頻率f的正弦波採用相同頻率來取樣。這些樣本會標示在左側的原始訊號上,而右側建構的訊號則會錯誤顯示為常數DC電壓。在案例B中,取樣率為訊號的兩倍。現在看起來就像是三角波形。在此情況下,f等於奈奎斯特頻率,也就是在特定取樣率下用於避免訊號失真的最高頻率分量。在案例C中,取樣率為4f/3。在此情況下,奈奎斯特頻率為:
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因為f大於奈奎斯特頻率(4f/3 > 2f/3),此取樣率會產生頻率與形狀皆不正確的失真波形。
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圖6:太低的取樣率會產生不準確的波形重建。
因此,為了準確地重建波形,取樣率fs必須比受量測訊號中相關最高頻率分量高出兩倍。通常我們會讓取樣率比訊號頻率高出五倍左右。
失真
失真發生在訊號擷取過程中,當訊號取樣率小於奈奎斯特頻率的兩倍時,取樣資料中會出現錯誤的較低頻率分量,此現象稱為失真。要避免訊號失真需要特定的取樣率。下圖顯示以1MS/s得出的800kHz正弦波取樣頻率。虛線表示該取樣率下所記錄的失真訊號。800kHz頻率會回到通帶並出現失真現象,同時顯示200kHz正弦波的錯誤頻率。
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圖7:當取樣率太低,並產生不準確的波形時,就會出現失真情況。
失真頻率fa可在經過計算後,決定超過奈奎斯特頻率的輸入訊號是如何產生的。此值是樣本頻率最接近的整倍數,減去輸入訊號頻率後的絕對值。
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等式8.計算失真頻率
例如,假設訊號的取樣頻率為100Hz,而輸入訊號內含下列頻率:25Hz、70Hz、160Hz與510Hz。低於50Hz奈奎斯特頻率的所有頻率皆可正確取樣;超過50Hz的頻率則會失真。
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圖8.量測不同的頻率值之後,從波形中我們發現其中有些為失真頻率,而其他則為實際頻率。
以下是失真頻率的計算方式:
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要防止出現失真情況,除了增加取樣率之外,還可以使用反失真濾波器。這種低通濾波器可讓任何大於奈奎斯特頻率的輸入訊號頻率衰減,因此必須在ADC之前使用,藉此限制輸入訊號頻寬並達到取樣標準。所有類比輸入通道皆可同時在硬體內實作類比與數位濾波器,以防止失真狀況。

解析度

解析度是了解示波器運作原理的另一概念,也是選擇應用所需示波器時的考量要素。解析度位元就是示波器用來呈現訊號的唯一垂直層級數。要了解解析度概念,比較碼尺是一種方式。將碼尺/米尺細分為公釐單位;解析度指的就是碼尺上最小的刻度,也就是1/1000單位。
 
ADC解析度代表訊號所能分割的最大數量。振幅解析度受到ADC離散輸出層級數量的限制。二進位碼代表每個分區,因此層級數量計算方式如下:
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等式9.計算ADC離散輸出層級
例如,3位元示波器具有23,也就是8個層級。另一方面,16位元示波器則具有216,也就是65,536個層級。可偵測的最小電壓變更或編碼寬度計算方式如下:
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等式10.計算編碼寬度
編碼寬度也稱為最低有效位元(LSB)。當裝置輸入範圍介於0到10V,則3位元示波器的編碼寬度為10/8=1.25V,而16位元示波器的編碼寬度為10/65,536=305μV。由此可看出,在訊號的顯示方式上差距極大。
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圖9:解析度介於16位元與3位元之間的波形差異
一般來說,解析度越高,示波器成本越高;您需要的解析度則需要取決於應用。請注意,高解析度的示波器不必然代表可提供高準確度;然而,儀器能達成的準確度卻會受到解析度限制。解析度會限制量測精確度;解析度(位元數)越高,量測精確度就越高。
 
某些示波器為了讓解析度看起來更高,使用一種稱為「高頻振動」的方法對訊號進行平滑處理。在處理過程中,高頻振動會刻意將雜訊加進輸入訊號。這麼做有助於撫平振幅解析度中的細微差異。其中關鍵在於加入隨機雜訊時,必須讓訊號在連續層級中來回跳動。這麼做雖能令解析度看起來高,卻也讓訊號雜訊更多。不過,一旦擷取到訊號後,只要以數位方式取得此雜訊平均值,就能讓訊號平滑化。
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圖10:高頻振動方式有助於讓訊號平滑化。

結論

  • 頻寬、上升時間、取樣率、解析度、失真、奈奎斯特取樣定理(NyquistTheorem是了解示波器運作原理的重要概念以及挑選示波器時的考量因素。
  • 頻寬說明了示波器可準確量測的頻率範圍。其定義為正弦輸入訊號衰減為原始振幅之70.7%(也可稱為-3dB點)時的頻率。
  • 頻寬是各個角頻率之間的差異。
  • 振幅錯誤為決定系統雜訊時,頻寬與輸入訊號頻率的比例百分比。
  • 建議您讓示波器頻寬高出受量測訊號中相關最高頻率分量的35,以擷取振幅錯誤最小的訊號。
  • 輸入訊號的上升時間,指的是訊號最大振幅從10%轉至90%所需的時間。
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  • 建議您將示波器上升時間調整為受量測訊號上升時間的1/31/5,以擷取上升時間誤差最小的訊號。
  • 取樣率是ADC將類比輸入波形轉換為數位資料時的頻率。
  • 取樣率至少需為訊號中相關最高頻率的兩倍,不過大多數時候應為五倍左右
  • 失真指的是取樣資料中出現錯誤的頻率分量。
  • 解析度位元就是示波器用來呈現訊號的唯一垂直層級數。
  • 儀器解析度越高,其精確度就越高。

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